Función de costos

En nuestro modelo, la función de costos la definimos como:

donde:

• CTPM es el dinero total por minuto que recibirá el sistema.
• Wq es es el tiempo promedio en fila por persona
• Lq es el número promedio de entidades en fila.
• SEM es el salario del empleado por minuto
• m( i ) es el numero de servidores en la estación i. Con i ={pedido,recepción}
• p( i ) es la utilización de la estación i. Con i ={pedido,recepción}

Esta función de costos se definió de esta forma basicamente porque queremos incluir costos de tener gente en la fila, los cuales se convierten en costos de oportunidad para el sistema (un posible cliente se arrepienta por la fila) y costos de mantener a los servidores desocupados por algún tiempo. Esta decisión se fundamenta en el mismo sistema que tiene muy bien controlado la mayoría de las cosas que generarían costos adicionales, por el cual fueron los únicos que pudimos identificar y que se acoplaran con este.

Medidas de desempeño

A continuación presentaremos la tabla comparativa con las medidas más relevantes para nosotros en el sistema.

Basados en esto, el modelo que consideramos más adecuado para continuar el análisis de costos, escenarios, y lo demás es la red de Jackson . Esta decisión la tomamos en base a que en la última columna, esta es la que se ajusta más al tiempo en el sistema REAL con un error de 30%, mientras que los demás poseen un error de casi el 50%.

Si observan bien la tabla, verán que el las diferencias entre el modelo G/G/m sin y con paradas son mínimas, ya que en estas paradas que identificamos los SETUPS se hacen de forma rápida sin afectar casi el tiempo de servicio y las fallas muy poco comunes debido al buen control y buen mantenimiento que se le hace a todo el sistema, justo cuando cierran el local (revisar sillas, mesas, datáfonos, cajas registradoras, etc).

Paradas del sistema

En el estudio de nuestro sistema se encontraron sucesos que alteraban  su funcionamiento.

En la estación  caja se encontró que en algunos casos cuando las personas pagaban con tarjeta y no en efectivo, el datafono se trababa, o perdía conexión con la red bancaria. En nuestra toma de datos, dado que se realizan e 2 horas especificas, se encontró que el tiempo promedio entre fallas del datafono es de 3795 segundos, y el tiempo promedio de reparación es de 98 segundos con varianza de 408.33 segundos al cuadrado. Por otro lado para esta estación como una parada programada encontramos que que el papel de las cajas registradoras es cambiado. El cambio del rollo de papel para recibos ocurre en promedio cada 450 recepciones de pedidos. El tiempo que tarda el operario en cambiar el rollo de papel es en promedio 65 segundos, con varianza de 180 segundos cuadrados.

En la estación recepción de pedidos se encontró una parada planeada. Esta consistía en lavar los recipientes contenedores de las salsas. Este lavado se realizaba cada vez que el recipiente era desocupado 2 veces (Cuando el recipiente es lavado, empieza nuevamente su funcionamiento  y se desocupa, se llena nuevamente). En promedio la  salsa del recipiente es vaciada  cada 52 entregas, así el número total de trabajos antes de la parada planeada es 104. El tiempo que tarda el operario en lavar el recipiente es de 90 segundos y con una varianza mínima (significativa) de 20.57 segundos cuadrados.

Eleccion de Blogs

Los proyectos que estan muy relacionados con el sistema en estudio son:

• http://probabilistichamburger.blogspot.com/
• http://fastproyectb3.blogspot.com/  
• http://hamburgueserias.blogspot.com/

Decidimos escoger estos tres blogs por dos motivos basicamente:

1) Como lo mencionamos ahora, está muy involucrado a nuestro tema, por lo cual podemos ver como podemos ir mejorando nuestro blog.

2) Nos ofrece otro punto de vista a nuestro blog donde podemos saber que aspectos nos hicieron falta.

Entonces, por el momento, se puede rescatar que estos 3 blogs tuvieron puntos de vista diferentes donde por ejemplo, en el primero consideraron estaciones como la de "Salsas", donde nosotros no la incluimos debido a que lo consideramos mas o menos irrelevante a lo que queriamos modelar y puesto a que en nuestro modelo, hay alrededor de 3 estaciones de servilletas, salsas, pitillo, etc por lo cual no se arma fila. O por otro lado, tienen estaciones de preparación de comida, mientras que como nuestro modelo es acerca de McDonalds, este último ya tiene toda la comida preparada, por lo cual fue irrelevante igualmente.

Finalmente podemos concluir, que estos blogs ofrecen otros aspectos que ellos los tomaron en cuenta, pero en nuestro caso son más o menos irrelevantes debido al sistema de como funciona McDonald's. Sin embargo, se podría cambiar las probabilidades de ruteo ya que por ejemplo nosotros consideramos que la gente solo consume postre despues de almorzar o comer algo, pero esto es claramente no cierto ya que pueden llegar a comer helados o algo así., pero pues lo modelamos así ya que en muchos McDonald's como el que trabajamos, tienen una parte adicional para la heladería.

Red de Jackson

La red se puede modelar como una red de Jackson si y solo si se siguen los siguientes supuestos:

1. Los arribos deben seguir un proceso de Poisson, es decir, que los tiempos entre arribos son exponenciales e independientes entre si.
2. El tiempo de servicio de cada estacion se distribuye exponencial.
3. La capacidad de cada estacion es infinita.
4. La tasa de entrada al sistema sobre el numero de servidores en ella por la tasa de servicio debe ser menor a 1, para que el sistema se considere en estado estable y no "explote".

La tasa de entrada en cada estacion se puede suponer como la calculada bajo los datos recogidos, teniendo en cuenta que si se amplia el numero de datos a recoger en la muestra estos se pueden aproximar a una distribucion Exponencial. A continuacion se presentan las tasa de entrada y servicio en clientes por segundo:

En el diagrama de ruteo se puede observar que cada entidad sigue la siguiente ruta: Primero se dirige a la caja a pagar su orden, donde hay un tiempo en cola o espera, posteriormente con una probabilidad de 1 se dirige a la zona de recepción de pedido, por ultimo se acerca a las mesas del lugar para ingerir los alimentos con una probabilidad de 1/10 según los datos recogidos en la observación donde 10 de cada 100 entidades pedían su orden para llevar.  La probabilidad de pasar de la estacion de caja a la estacion de recepcion de pedido es igual a 1, pues ninguna entidad racional pagaria sin recibir su pedido. Sin embargo, existen entidades(10%) que reciben su pedido y no se dirigen a las mesas para el consumo sino que salen del sistema. El 10% observado es una muestra de 100 entidades independientes entre si que no se dirigieron a la zona de pedido.

Estacion en Caja: 

Es un sistema M/M/2/GD/INFINITO/INFINITO.

Estacion Recepcion de Pedido:

Es un sistema M/M/1/GD/INFINITO/INFINITO

Estación Mesas:

Es un sistema M/M/INFINITO/GD/INFINITO/INFINITO

Las medidas de desempeño calculadas para sistema, junto con las tasa de entrada a cada estación se presentan a continuación:

Pruebas de Bondad y Ajuste

Para los tiempos de servicio en cada estacion y tiempo entre arribos se realizo la prueba Chi-cuadrado para observar si los datos se ajustaban a una distribucion en particular.

Acontinuacion se presenta la pruba de bondad y ajuste para los tiempos entre arribos a la estacion caja o pedido :

Acontinuacion se presenta la pruba de bondad y ajuste para los tiempos de servicio en la estacion de caja:

Acontinuacion se presenta la pruba de bondad y ajuste para los tiempos de servicio en la estacion de recepcion del pedido:

Acontinuacion se presenta la pruba de bondad y ajuste para los tiempos que la entidad dura ingeriendo los alimentos :

Acontinuacion se presenta la pruba de bondad y ajuste para los tiempos entre arribos a la estacion mesas :

Esquema Grafico del Sistema

• 
  
  El Sistema presenta tres servidores en la estacion de caja de pago. Las entidades primero ingresan a la caja a realizar su pedido y pagarlo. Posteriormente se dirigen a las mesas a esperar su orden, para despues presentarse a la zona de pedido y recibir su pedido. Por ultimo, despues de ingerir los alimentos, depositan los desechos en la caneca. La flecha azul indica el ruteo de las entidades. 
    
  
  Utilizamos como supuesto basico que el restaurante opera de 12 a.m a 2 p.m, por lo que los tiempos fueron tomados en ese intervalo de tiempo. Descartamos un intervalo mas amplio, puesto que el estudio de tiempos se complicaba en cuanto a que los arribos son muy escasos y no se generan colas.                           
   
• Los tiempos entre arribos( en segundos) y los tiempos de servicio(en segundos) de cada estacion con su respectiva media y varianza se presentan a continuacion:
  
  La media, varianza y tasa de cada tiempo estan al final de los tiempos tomados.
  

  Tiempo entre arribos Estacion Pedido 1 23 2 25 3 32 4 25 5 28 6 23 7 32 8 25 0 29 10 26 11 30 12 23 13 35 14 25 15 30 16 26 17 25 18 22 19 32 0 25 21 25 22 23 23 22 24 28 25 32 26 23 27 22 28 25 29 22 30 24 31 28 32 25 33 25 34 34 35 26 36 24 37 22 38 25 39 24 40 24 41 25 42 21 43 24 44 35 45 25 46 24 47 24 48 34 49 26 50 27 51 23 52 28 53 26 54 26 55 24 56 26 57 26 58 23 59 38 60 22 61 24 62 21 63 30 64 28 65 26 66 27 67 26 68 23 69 22 70 22 71 24 72 26 73 24 74 22 75 27 76 26 77 29 78 21 79 26 80 30 81 25 82 24 83 24 84 29 85 27 86 28 87 24 88 27 89 29 90 21 91 31 92 26 93 25 94 28 95 21 96 25 97 22 98 27 99 23 100 23   media 25.84 varianza 11.93373737 r1 0.03869969
  Tiempo entre arribos mesas 1 10 2 9 3 11 4 8 5 15 6 9 7 10 8 12 9 8 10 9 11 10 12 12 13 11 14 10 15 9 16 8 17 11 18 12 19 9 20 10 21 11 22 12 23 13 24 9 25 10 26 9 27 12 28 8 29 9 30 10 31 11 32 11 33 13 34 9 35 14 36 13 37 10 38 14 39 9 40 10 41 12 42 8 43 9 44 10 45 11 46 16 47 13 48 9 49 10 50 9 51 8 52 13 53 11 54 9 55 9 56 13 57 8 58 11 59 11 60 13 61 9 62 11 63 8 64 11 65 10 66 9 67 9 68 13 69 12 70 8 71 8 72 10 73 9 74 15 75 11 76 13 77 11 78 12 79 8 80 13 81 11 82 9 83 8 84 11 85 10 86 12 87 14 88 13 89 9 90 10 91 8 92 13 93 14 94 11 95 8 96 9 97 10 98 13 99 12 100 8
  media 10.56 varianza 3.784242424 r2 0.09469697
  Tiempo servicios pedido 1 40 2 35 3 35 4 36 5 37 6 49 7 25 8 40 9 34 10 36 11 40 12 34 13 37 14 37 15 35 16 36 17 37 18 35 19 42 20 39 21 37 22 36 23 37 24 37 25 34 26 36 27 120 28 37 29 37 30 34 31 37 32 35 33 36 34 36 35 39 36 37 37 39 38 38 39 37 40 38 41 43 42 41 43 35 44 35 45 37 46 36 47 38 48 36 49 38 50 36 51 36 52 38 53 37 54 36 55 35 56 35 57 37 58 36 59 39 60 38 61 34 62 38 63 39 64 35 65 37 66 37 67 37 68 36 69 36 70 36 71 34 72 36 73 35 74 40 75 33 76 35 77 33 78 37 79 39 80 37 81 37 82 38 83 37 84 42 85 38 86 41 87 43 88 40 89 38 90 36 91 36 92 39 93 38 94 39 95 37 96 35 97 40 98 37 99 42 100 25
  media 37.8 varianza 77.6767677 m1 0.02645503
  Tiempo servicios recepcion 1 20 2 22 3 24 4 20 5 18 6 22 7 20 8 18 9 22 10 19 11 20 12 24 13 22 14 18 15 20 16 19 17 20 18 22 19 24 20 20 21 18 22 22 23 20 24 18 25 22 26 18 27 22 28 19 29 20 30 24 31 22 32 18 33 18 34 22 35 19 36 20 37 18 38 22 39 19 40 20 41 24 42 22 43 18 44 20 45 22 46 24 47 20 48 18 49 22 50 20 51 18 52 22 53 18 54 19 55 20 56 18 57 22 58 20 59 18 60 22 61 20 62 22 63 24 64 20 65 18 66 22 67 20 68 18 69 22 70 19 71 20 72 18 73 19 74 18 75 20 76 22 77 22 78 18 79 20 80 20 81 18 82 20 83 22 84 24 85 20 86 18 87 22 88 20 89 18 90 22 91 20 92 22 93 24 94 20 95 18 96 22 97 20 98 18 99 22 100 18
  media 20.32 varianza 3.613737374 m2 0.049212598 Tiempo servicios mesas 1 845 2 844 3 844 4 846 5 847 6 844 7 846 8 847 9 849 10 841 11 843 12 845 13 842 14 843 15 838 16 842 17 846 18 842 19 843 20 846 21 842 22 847 23 840 24 841 25 841 26 842 27 841 28 843 29 838 30 844 31 843 32 851 33 842 34 841 35 850 36 843 37 841 38 853 39 840 40 840 41 841 42 841 43 842 44 841 45 852 46 839 47 839 48 839 49 844 50 845 51 840 52 844 53 840 54 840 55 844 56 841 57 840 58 849 59 842 60 843 61 838 62 848 63 843 64 838 65 842 66 841 67 842 68 847 69 841 70 845 71 839 72 839 73 841 74 841 75 840 76 844 77 840 78 840 79 845 80 844 81 840 82 850 83 842 84 843 85 838 86 842 87 845 88 844 89 842 90 843 91 841 92 845 93 840 94 840 95 844 96 844 97 845 98 845 99 849 100 856

  media 843.08 varianza 11.9935354 m3 0.00118613